Beim Gauß-Test, auch Z-Test genannt, arbeitet man mit einer Stichprobe des Umfangs n. Die Stichprobendaten werden als Ausprägungen unabhängig identisch normalverteilter Zufallsvariablen angenommen. Der Test bezieht sich auf den unbekannten Erwartungswert μ der zugrunde liegenden Normalverteilung, deren Varianz σ² bzw. deren Standardabweichung σ als bekannt vorausgesetzt wird. Im Falle des hier betrachteten zweiseitigen Gauß-Tests wird die Nullhypothese H₀: μ = μ₀ gegen die Alternativhypothese H₁: μ ≠ μ₀ getestet. Als Prüfgröße kann der Stichprobenmittelwert X-Quer oder der standardisierte Stichprobenmittelwert Z = (X-Quer - μ₀) / σ verwendet werden.

Bei der Durchführung des Tests sind zwei Arten von Fehlentscheidungen denkbar, nämlich die fälschliche Ablehnung von H₀ (sog. Fehler 1. Art) sowie die fälschliche Nicht- Ablehnung von H₀ (Fehler 2. Art). Ein Fehler 1. Art kann offenbar nur im Falle μ = μ₀ eintreten. Die Wahrscheinlichkeit α für den Eintritt ist gegeben durch

α = P(Fehler 1. Art) = P(Ablehnung von H₀ ǀ μ = μ₀)

Der Wert α, das sog. Signifikanzniveau des Tests, wird vorgegeben, z. B. α = 0,05.

Ein Fehler 2. Art ist nur im Falle μ ≠ μ₀ möglich. Seine Eintrittswahrscheinlichkeit ist gegeben durch

P(Fehler 2. Art) = P(Nicht-Ablehnung von H₀ ǀ μ ≠ μ₀ ) = 1 - P(Ablehnung von H₀ ǀ μ ≠ μ₀).

Beide Fehlerwahrscheinlichkeiten lassen sich aus dem Graphen der Gütefunktion G(μ) ablesen. Die Funktion G(μ)spezifiziert für jeden beliebigen Wert μ die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von H₀:

G(μ) = P(Ablehnung von H₀ ǀ μ).

Die Gestalt von G(μ) hängt von n, α und σ. Von zwei mit dem Signifikanzniveau α arbeitenden Tests ist derjenige zu bevorzugen, der für alle μ ≠ μ₀ kleinere Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt eines Fehlers 2. Art aufweist.

Mit dem Lernobjekt lässt sich die Gütefunktion G(μ) des zweiseitigen Gauß-Tests mit μ₀ = 100 für unterschiedliche Werte von n, α und σ veranschaulichen. Studieren Sie, wie sich der Graph der Funktion bei Variation dieser Parameter verändert. Die Kurve, die sich auf die vorausgegangene Einstellung bezieht, bleibt zu Vergleichszwecken jeweils schwach sichtbar.